math什么意思
麻省理工精英视角下的数学体系
一、数学的之旅
作为一名计算机系的学生，我并非志在成为数学家，而是希望通过深入研究数学，能更深入地理解我所研究领域的核心问题。初入麻省理工，我原以为自己的研究将围绕appearance和motion的unified model展开，这是一个在Computer Vision领域中相当常见的主题。随着研究的深入，我逐渐意识到，单纯的Graphical Model并不能完全解决复杂的问题，对问题的深入研究更为重要。
在过程中，我遇到了许多挑战。如何描述一般的运动过程、如何建立稳定的原子表达、如何刻画微观运动和宏观分布变换的联系等等，这些问题引领我走向数学的海洋。我发现原有的数学基础已经不足以应对这些挑战，而数学中蕴含的思想和工具恰恰能解决这些问题，只是尚未被许多应用科学研究者所重视。我决定深入数学，寻找更强大的武器，以应对这些挑战。
二、集合论：现代数学的共同基石
现代数学如繁星璀璨，分支众多，但它们都有一个共同的基础集合论。集合论为数学家族提供了共同的语言。其中最基本的几个概念如集合、关系、函数、等价等，是进一步学习其他数学的基础。对于理工科的大学生来说，这些概念并不陌生。
有一个重要的概念却鲜为人知，那就是“选择公理”。这个公理似乎显而易见从每个非空集合中都可以选择一个元素。这个简单的公理却能演绎出令人惊奇的结论，如巴拿赫-塔斯基分球定理。这些结论常常违背我们的常识，因此在历史上引发过激烈的争论。但现在，主流数学家已经基本接受了这个公理，因为它在许多数学分支中都是关键性的。
深入数学的世界后，我逐渐意识到数学的博大精深和无限可能。每一个看似简单的概念都可能引发一场思维的革命，每一个定理的背后都有无数数学家的辛勤付出。数学的魅力在于其不断和发现的过程，每一次突破都会带来全新的视角和认知。我深知自己的之路才刚刚开始，未来的数学之旅将更加精彩。在对一系列复杂学科的理解与过程中，我们逐步深入一个丰富多彩的理论世界。从拓扑学中的Baire Category定理，到实分析中的测度理论及不可测集的存在性，再到泛函分析的四大主要定理，这些理论共同构成了现代数学中分析与代数的两大支柱。而在这其中，分析这一学科的重要性尤为突出。这座建立在极限基础上的宏伟大厦经历了漫长的发展过程，由古典微积分时代逐渐迈向现代分析的新纪元。
回溯历史长河，不得不提及伟大的数学家牛顿与莱布尼茨。他们在微积分领域的杰出贡献为科学工程的发展提供了有力工具。微积分的真正基石是在柯西的理论中得以奠定。他用严谨的语言重新定义了微积分的基本概念，使得整个分析学科得以稳固发展。但即使如此，当时的数学界仍面临一些未解之谜，“函数是否可积的问题”便是其中之一。黎曼提出的积分法为这一问题提供了初步答案，但对于分段连续函数的积分问题仍然困扰着数学家们。
随着实分析与实数理论的不断发展，现代分析逐渐崭露头角。在“点集大小”这一问题的过程中，数学家们发现实数轴具有许多未曾认知的特性。对于不可连续函数的可积性研究，更是推动了现代实分析的进步。这一领域的关键在于理解什么样的不连续函数是可积的。事实上，即使函数在无限处不连续，只要满足某些条件仍然可以被认为是可积的。这种研究揭示了实分析在解决工程问题中的实际应用价值。
现代数学的两大家族分析与代数，构成了数学理论的核心部分。在分析领域，拓扑学、实分析、泛函分析等学科相互交织，共同构成了现代数学的重要分支。而在现代版本的几何与概率论中，这些学科也扮演着举足轻重的角色。从这个角度来看，分析与代数不再是平行的关系，而是相互依存、相互促进的。这座建立在极限基础上的宏伟大厦，将继续引领数学家们未知领域，揭示更多数学世界的奥秘。
分析学科的发展历程是一部充满传奇色彩的历史长卷。从古典微积分时代到现代分析的新纪元，无数数学家为之付出努力，取得了辉煌的成果。在现代数学中，分析与代数相互依存、相互促进的关系日益凸显。对于热爱数学的我们来说，这既是一个挑战也是一个机遇。我们期待着未来的数学家们继续未知领域，为我们揭示更多数学世界的奥秘。在极限思想的支持下，实数理论应运而生。这一时期，涌现出一系列对实数完备性进行刻画的等价定理，如确界定理、区间套定理、柯西收敛定理以及Bolzano-Weierstrass定理和Heine-Borel定理等。这些定理鲜明地揭示了实数与有理数的根本区别完备性，即对极限运算的封闭性。
随着对实数理解的深入，如何度量“点集大小”的问题取得了突破性进展。勒贝格巧妙地结合了集合代数与Outer content的概念，创立了测度理论，并基于测度建立了全新的积分概念勒贝格积分。这一新的积分概念使可积性问题的变得一目了然。
实数理论、测度理论和勒贝格积分共同构成了实分析这一数学分支，也称为实变函数论。尽管实分析在初看似乎不如古典微积分“实用”，难以直接应用于算法，但它具有深厚的现实意义，为众多现代应用数学分支提供了坚实的基础。
具体来说，黎曼可积的函数空间并非完备，而勒贝格可积的函数空间则是完备的。这意味着黎曼可积的函数列收敛到的函数不一定是黎曼可积的，而勒贝格可积的函数列则必定收敛到一个勒贝格可积的函数。这在泛函分析和逼近理论中讨论“函数的极限”或“函数的级数”时尤为重要。L^p函数空间便是基于勒贝格积分而建立的。勒贝格积分还是傅立叶变换的基础，在工程领域中广泛应用。尽管一些初等教材可能绕过了勒贝格积分，强调实用性而不谈其数学基础，但在深层次的研究中，特别是在理论研究中，其重要性不容忽视。
接下来谈谈概率论的发展。自从Kolmogorov在20世纪30年代将测度引入概率论以来，测度理论便成为现代概率论的基础。在这里，概率被定义为测度，随机变量被定义为可测函数。条件随机变量则是某个函数空间上的可测函数的投影，而均值则是可测函数相对于概率测度的积分。现代观点开始以泛函分析的视角看待概率论的基础概念，随机变量构成向量空间，带符号概率测度则构成它的对偶空间。这两种方式殊途同归，形成的基础是等价的。在现代概率论的基础上，许多传统分支得到了极大的丰富和发展。如鞅论、布朗运动、随机分析等都是在现代概率论的基础上建立的。它们对于连续几何的概率建模以及分布变换的研究具有深远的意义。
最后来谈谈拓扑学的发展。随着实数理论的建立，人们开始将极限和连续的概念推广到更一般的空间的分析上。许多基于实数的概念和定理并非实数所独有，它们可以被抽象并推广到更一般的空间中。对实数轴的推广催生了点集拓扑学的建立。许多原本只在实数中存在的概念被提取出来进行了一般性的讨论。在拓扑学的核心领域，有四个核心概念犹如璀璨繁星，引领着人们极限世界的奥秘。这四大元素共同构成了拓扑学的坚实基石。
首先是闭集（Closed set）。在公理化的拓扑体系里，闭集与开集是连续性的起点。闭集，是对极限运算具有封闭性的空间区域。对，你没听错，正是那看似寻常的极限，在分析学中扮演着至关重要的角色。拓扑学中的闭集，正是这一重要性的具体体现。
接着是连续函数（Continuous function）。它在微积分中有其独特的定义，而在拓扑学中，它被重新解读为“保持极限运算的函数”。换句话说，如果一个函数能够保持数列的极限不变，那它就是一个连续函数。这个概念的重要性堪比群论中的同态映射，它们共同守护着各自学科的基础运算。
连通集（Connected set）是另一个关键概念。它描述的是空间中任意两点都能通过连续路径相连的特性。这在证明中值定理以及讨论代数拓扑、拓扑群论和李群论中的根本群阶时，显得尤为重要。
最后要说的是紧集（Compact set）。它在初等微积分中虽未明确提及，但却是许多重要定理背后的核心思想。紧集的定义虽然抽象，但它的存在却能将无限转化为有限，为分析学带来极大的便利。比如，在紧集中的数列必然存在收敛的子列，这正是分析中“极限”的体现。借助紧集的概念，许多分析学科的重要定理都能得到更一般的推广。
在某种程度上，点集拓扑学可以被视为关于“极限”的一般理论，它超越了实数理论，成为现代分析学科的通用语言。而微分几何则是在拓扑空间上引入了微分结构，将极限、微分、求导、积分等概念推广到了更广泛的领域。现代微分几何中的流形概念，为拓扑空间赋予了一套可以进行微分运算的结构，使得微分几何成为一门丰富而深入的学科。
这四大核心概念闭集、连续函数、连通集和紧集，共同构成了拓扑学的核心。它们彼此关联，相互补充，共同描绘了一个关于极限、连续和结构的精彩世界。对于想要深入这一领域的人来说，理解并掌握这四个概念是不可或缺的第一步。近年来，随着微分几何的蓬勃发展，除了推广微积分的概念外，许多新兴概念也应运而生，如tangent space（切空间）、cotangent space（余切空间）、push forward（前向映射）、pull back（后拉映射）、fibre bundle（纤维丛）、flow（流）、immersion（沉浸）、submersion（次浸没）等。它们构成了现代数学中的前沿领域，引起了广泛的关注和研究。尤其在机器学习领域，流形似乎已经成为了一个炙手可热的主题。要真正理解和掌握这些流形算法，甚至“创造”出新的流形算法，并不需要过多的微分几何基础。对我而言，微分几何最重要的应用在于它孕育了李群和李代数这两个分支。这两个分支是数学中分析和代数的完美结合，它们联姻的产物在数学领域具有举足轻重的地位。
值得一提的是，分析和代数的一个重要结合点是泛函分析和调和分析。它们在数学和其他领域的应用中发挥着重要作用。除了这些高级概念，代数作为一个大家族，其实离我们并不遥远。在我看来，代数主要研究的是运算规则。一门代数的建立，都是从某种具体的运算体系中抽象出一些基本规则，建立一个公理体系，然后在此基础上进行研究。一个简单的集合，只要配上一套合理的运算规则，就构成一个代数结构。
在主要的代数结构中，群是最简单的一种，它只有一种符合结合率的可逆运算。如果这种运算也符合交换率，那么就是阿贝尔群。如果再加上一种满足交换率和结合率的运算，满足分配率，就构成了环。如果环上的乘法满足交换率，则称为可交换环。当环的加法和乘法具备了所有的良好性质时，它就成为一个域。基于域，我们可以建立线性代数。线性代数在现代数学中占有举足轻重的地位，无论是在学习、视觉、优化还是统计领域都有广泛的应用。它的核心概念是向量空间和线性变换。线性变换在线性代数中的地位非常重要，它是保持基础运算（加法和数乘）的映射。
代数的魅力在于它只关心运算规则的演绎，而不在乎参与运算的对象是什么。只要定义恰当，即使是看似荒诞的运算（如猫乘狗得到猪）也是成立的。基于抽象运算规则得到的所有定理都可以应用于各个领域。在学习抽象代数的过程中，我们发现基于几条最简单的规则（如结合律）就能导出许多重要结论。这些结论可以应用于任何满足这些简单规则的地方，这正是代数的威力所在。抽象代数的研究通常分为两个流派：一个是研究有限的离散代数结构（如有限群和有限域），这部分内容通常用于数论、编码和整数方程等领域；另一个流派是研究连续的代数结构，通常与拓扑和分析联系在一起（如拓扑群、李群）。我主要关注后者。在机器学习领域，接触最多的莫过于线性代数了。它是许多学科的基础，包括建立在它基础上的各种学科的核心概念是向量空间和线性变换。线性变换的重要性在于它是保持基础运算的映射。在机器学习中存在一种倾向鄙视线性算法而过分推崇非线性算法的观点是不全面的。事实上每种算法都有其适用的场景和优势所在。在我们这个多彩而复杂的世界里，很多时候，线性思维或许无法全面捕捉现实世界的复杂性和多样性。这时，非线性描述就显得尤为重要。线性是基础，而非线性则是推广。我们常用的非线性手段包括流形和Kernelization，它们在特定的过程中都需要回归线性。流形通过在各局部建立与线性空间的映射，通过连接这些局部的线性空间来形成非线性空间；而Kernelization则是通过改变内积结构，将原线性空间映射到一个新的线性空间，进而进行操作。
当我们谈论泛函分析时，我们不得不面对从有限维向无限维的跨越。在大学里学习的线性代数，主要关注的是有限维空间，但真正的世界是无限维的。傅立叶变换和小波分析等重要的运算都是在无限维空间进行的。为了研究函数或连续信号，我们需要突破有限维空间的束缚，进入无限维的函数空间。这里的每一步都涉及到泛函分析的应用。
泛函分析是研究一般线性空间的一门学科，包括有限维和无限维。很多在有限维空间看似简单的问题，到了无限维空间可能会变得非常复杂。在泛函分析中，除了加法和数乘，还引入了其他运算，如范数来表达向量的长度或元素的距离。这样的空间被称为赋范线性空间。进一步地，加入内积运算后，就形成了内积空间。
进入无限维后，许多原有的观念不再适用。例如，并非所有的无限维空间都是完备的，有些空间甚至没有完备的子空间。空间和它的对偶空间在无限维情况下存在微妙的差别。很多算子在无限维空间中是的，给函数求导就是一个重要的例子。这些差异使得泛函分析更加复杂但也更加有趣。在此基础上，衍生出了许多有趣的分支，如算子谱论等。
继续深入研究泛函分析，有两个重要方向：巴拿赫代数和调和分析及李代数。巴拿赫代数是在巴拿赫空间（完备的内积空间）的基础上引入乘法运算的一种抽象理论框架。除了巴拿赫空间中的元素可以进行加法和数乘外，它们还可以进行乘法运算，从而构成一个巴拿赫代数。值域完备的有界算子、平方可积函数等都能构成巴拿赫代数。巴拿赫代数是泛函分析的进一步抽象化理论成果。许多关于有界算子的结论以及算子谱论中的定理不仅适用于算子本身，而且可以从一般的巴拿赫代数中得到应用并推广到其他地方。这使得巴拿赫代数在泛函分析中占据重要地位并广泛应用于其他领域。调和分析和李代数作为泛函分析的另外两个重要方向也在各自领域具有广泛的应用前景和重要性。巴拿赫代数无疑为我们提供了一个全新的视角来看待泛函分析，但其在解决实际问题时所能带来的独特价值，我仍在深入中。在将泛函分析与实际问题紧密结合的道路上，调和分析（Harmonic Analysis）正闪耀其独特的光芒。它如同一个孕育着丰富知识的摇篮，孕育出傅立叶分析和小波分析这两个子领域，为我们展示了如何用基函数去逼近和构造一个函数，揭示函数空间之美的奥秘。
调和分析的核心研究内容，不仅涉及到泛函分析的基础，更延伸至工程学和物理学中的实际应用。特别是在视觉领域，调和分析在信号表达和图像构造方面的工具价值尤为突出。
当我们深入数学分析时，会发现当分析与线性代数相结合时，便诞生了泛函分析和调和分析；而当分析与群论相结合时，则诞生了李群（Lie Group）和李代数（Lie Algebra）。它们为连续群上的元素赋予了独特的代数结构，展现了一个融合了拓扑、微分和代数的美丽数学体系。这一体系对于视觉领域具有深远的影响。尤其是李群和李代数，它们将几何变换的结合转化为线性运算，使得子群化为线性子空间。这为许多重要的模型和算法在几何运动建模中的引入创造了条件。虽然学习李群和李代数的道路可能充满挑战，需要先行掌握大量的数学知识，但它们对于视觉领域的重要性不容忽视。
作者林达华在其博客P.Linux中详细阐述了这一观点，并分享了更多关于数学的心得体会。如果你对超级数学建模感兴趣，不妨关注其微信号“supermodeling”，每天学习一点小知识，轻松了解各种思维，成为理性的数学爱好者。而对于本文的结束，希望能对大家有所帮助和启发。让我们期待更多关于数学领域的精彩内容。